दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म | Pair of Linear equation in two variables | Class 10th math | Hindi Medium

दो चर वाले रैखिक समीकरण ( Linear equation in two variables )– ax+by+c= 0 , जहाँ a, b ≠0 , के रूप के समीकरण को दो चर वाले रैखिक समीकरण कहते हैं | जैसे – 2x +3y = 5 , x -7y = 8

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म ( Pair of Linear equation in two variables )- दो चर वाले दो रैखिक समीकरणों को एक साथ लेने पर उसे दो चर वाला रैखिक समीकरण युग्म कहते हैं |

दो चर वाले रैखिक समीकरण का व्यापक रुप –

जैसे – (i) 2x+3y – 5 = 0 , 3x+y – 4 = 0

(ii) 3x-2y +7= 0, 7x- y-3 = 0

(iii) 2x+3y = 5, 3x+5y = 8

दो चर वाले रैखिक समीकरण का हल (Solution of Linear equation in two variables )– किसी दो चर वाले रैखिक समीकरण ax+by+c= 0 में चर x और y का वह मान जो रैखिक समीकरण को संतुष्ट करता है , दो चर वाले रैखिक समीकरण का हल कहलाता है |

नोट – दो चर वाले रैखिक समीकरण के अनगिनत हल होते हैं |

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म का हल (Solution of Pair of Linear equation in two variables )- दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म के हल अनगिनत या अद्वितीय या एक हल हो सकते हैं |

दो चर वाले रैखिक समीकरण का आलेख ( Graph of Linear equation in two variables )-

x+y = 5

x =0 पर ,

0 +y = 5 ⇒y=5

y =0 पर ,

x +0 = 5 ⇒ x =5

x	0	5
y	5	0

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म का आलेख ( Graph of Pair of Linear equation in two variables )-

( i ) x+ y = 3, 2x + y = 4

समीकरण (1 ) से ,

x+ y = 3

x =0 पर ,

0 +y = 3 ⇒ y =3

y =0 पर ,

x +0 = 3 ⇒ x = 3

x	0	3
y	3	0

समीकरण (2 ) से ,

2x + y = 4

x =0 पर ,

2 ( 0 ) + y = 4 ⇒ y = 4

y =0 पर ,

2 x + 0 = 4 ⇒ 2x = 4 ⇒ x= 2

x	0	2
y	4	0

अतः ,यदि दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म के आलेखिय निरूपण में रेखाएँ एक-दुसरे को प्रतिच्छेद करे तो उसके अद्वितीय हल ( एक हल ) होंगें |

( ii ) 2x+ 4y -12= 0 , x+ 2y -4 = 0

समीकरण (1 ) से ,

2x+ 4y -12= 0 ⇒ 2 ( x + 2y -6 ) = 0 ⇒ x + 2y -6 = 0

x + 2y = 6

x =0 पर ,

0 + 2y = 6 ⇒ 2y = 6 ⇒ y =3

y =0 पर ,

x+ 2(0) = 6 ⇒ x = 6

x	0	6
y	3	0

समीकरण (2 ) से ,

x+ 2y -4 = 0 ⇒ x+ 2y =4

x =0 पर ,

0 + 2y = 4 ⇒ 2y = 4 ⇒ y =2

y =0 पर ,

x+ 2(0) = 4 ⇒ x = 4

x	0	4
y	2	0

अतः ,यदि दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म के आलेखिय निरूपण में रेखाएँ एक-दुसरे के समांतर हो तो उसके कोई हल नहीं होंगें |

( iii ) 4x+ 6y = 18 , 2x + 3y = 9

समीकरण (1 ) से ,

4x+ 6y = 18

x =3 पर ,

4(3)+ 6y = 18⇒ 12+ 6y = 18 ⇒ 6y = 18-12

6y = 6 ⇒ y= 1

x =6 पर ,

4(6)+ 6y = 18⇒ 24+ 6y = 18 ⇒ 6y = 18-24

6y = -6 ⇒ y= -1

x	3	6
y	1	-1

समीकरण (2 ) से ,

2x + 3y = 9

x =0 पर ,

2(0) + 3y = 9 ⇒ 3y = 9 ⇒ y= 3

y =0 पर ,

2x + 3(0) = 9 ⇒ 2x = 9 ⇒ x= 4.5

x	0	4.5
y	3	0

अतः ,यदि दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म के आलेखिय निरूपण में रेखाएँ संपाती (एक-दुसरे के ऊपर ) हो तो उसके अनगिनत हल होंगें |

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म ( Pair of Linear equation in two variables )-

अनुपातों में तुलना	आलेखिय निरूपण	हलों की संख्या	समीकरण निकाय
(i)	प्रतिच्छेदी रेखाएँ	अद्वितीय हल (एक हल )	संगत ( अविरोधी )
(ii)	संपाती रेखाएँ	अनेक हल	संगत ( आश्रित )
(iii)	समांतर रेखाएँ	कोई हल नहीं	असंगत ( विरोधी )

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की विधियाँ ( Method of Solving Pair of Linear equation in two variables )- दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की दो विधियाँ होती हैं –

आलेखिय विधि ( Graphical Method )
बीजगणितय विधि ( Algebraic Method )

बीजगणितय विधि कई प्रकार की होती हैं –

तुलनात्मक विधि ( Comparable method )
प्रतिस्थापन विधि ( substitution method )
लुप्तीकरण या विलोपन विधि ( Elimination method )
व्रज-गुणन विधि ( Cross-multiplication method )
अनुपात निर्णय विधि ( Ratio determination method )

तुलनात्मक विधि ( Comparable method )2. प्रतिस्थापन विधि ( substitution method )3. लुप्तीकरण या विलोपन विधि ( Elimination method )4. व्रज-गुणन विधि ( Cross-multiplication method )